Индивидуальные учебные работы для студентов


Контрольная прямые на плоскости и в пространстве

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Приведем несколько примеров параллельных прямых.

Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b. Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении контрольная прямые на плоскости и в пространстве прямых на плоскости: Это утверждение принимается как факт оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметриии оно называется аксиомой параллельных прямых. Для случая в пространстве справедлива теорема: Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых. К началу страницы Параллельность прямых - признаки и условия параллельности. Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует контрольная прямые на плоскости и в пространстве прямых.

Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых. Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве. С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны.

Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых — это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых.

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны — это свойство, которым обладают параллельные прямые. Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая — это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых. При пересечении контрольная прямые на плоскости и в пространстве прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы.

Покажем их на чертеже. Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы контрольная прямые на плоскости и в пространстве равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости. Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7-9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве — главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости. Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых. Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельные прямые – основные сведения.

Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых. Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.

  • Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны;
  • Составьте канонические уравнения прямой;
  • Запишем условие ортогональности плоскостей:

Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе. Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости. Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны. Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве. Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны. Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии.

То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на контрольная прямые на плоскости и в пространстве или в трехмерном пространстве.

Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

  • В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы;
  • То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.

К началу страницы Параллельность прямых в прямоугольной системе координат. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координатто прямую линию в этой системе координат определяет уравнение прямой на плоскости некоторого вида. Аналогично прямую линию в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задают некоторые уравнения прямой в пространстве. В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности контрольная прямые на плоскости и в пространстве в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Прямые на плоскости и в пространстве. Расстояние. 6-й класс

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой. Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к условию коллинеарности двух векторов направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых или к условию перпендикулярности двух векторов направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой.

Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b, а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то контрольная прямые на плоскости и в пространстве и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется какилиилигде t - некоторое действительное число.

В свою очередь координаты направляющих или нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых. В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой видаа прямую b -то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется.

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом видаа прямой b -то нормальные векторы этих контрольная прямые на плоскости и в пространстве имеют координаты иа условие параллельности этих прямых примет вид. Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида .

VK
OK
MR
GP